Генератор дает 12.2 В в Джили МК Кросс

Разбирать генератор и устраивать ревизию. Из возможного — стёрлись щётки, сгорел регулятор.

Каким образом узнали про такое напряжение?

Надо при работающем двигателе сделать замер напряжения на аккумуляторе (возможно оно будет действительно 12,2в).
Потом надо сделать замер на генераторе. Если на генераторе напряжение окажется в пределах 13,5 -14,3 вольт, тогда генератор исправен, проверяйте проводку и зачищайте точки «масс» на двигателе и на кузове. Если напряжение мало на генераторе, тогда придётся его снимать и нести в автосервис по ремонту генераторов.