На холодную руль заедает в Тойота Авенсис

Замените полностью жидкость ГУР, если не поможет, то может быть износ лопаток насоса ГУР, почитайте по ссылке про ремонт или проблема в клапане насоса.

«И постоянно свистит ремень...» — вот в этом и есть ваша проблема.
Ремень проскальзывает, шкив останавливается, насос не работает, руль провернуть трудно, в следующий моментшкив провернётся на сколько-то, появится усиление руля, потом снова остановка насоса — вот вам и свист, и рывки руля.