Не заводится при -20°С Хендай Гетц

Например, ДТОЖ неисправен, выдаёт на «мозги» неправильную температуру, соответственно ЭБУ корректирует неправильно время открытия форсунок, то есть смесь может быть слишком бедной для -20 градусов или очень богатой. Ещё вариант, допустим, присутствует влага в топливном фильтре, и на морозе фильтр подмерзает, не давая проход топливу, в тепле размягчается и топливо пошло.

При запуске на холодную — не срабатывает случаем вентилятор охлаждения двигателя?

Провода ВВ давно меняли? Все может быть виной ДТОЖ-дачтик температуры охлаждающей жидкости. Все это проверить надо.