Когда часто глушишь, а потом заводишь, она не заводится. С толкача сразу же заводится

Первое на что следует обратить внимание это на систему питания двигателя, на проводку и систему искрообразования.

А также:

1. Зачастую просто идёт потеря напряжения, т.е. до стартера не доходит нужного напряжения. Очень часто такая проблема из-за сигналки с автозапуском. Решение — дополнительное реле от АКБ до стартера.
2. Втягивающее – бывает плохой контакт (надо клемму на проводе пошкурить и пластинками поджать) но может быть что оно просто барахлит и нужна замена.
3. Масса, иногда достаточно просто зачистить с WDшкой массу.

Не исключено, что машина не заводится из-за датчика BMT, датчик венца маховика. Если бы ваша машина была оснащена имобилайзером, то подозрение пало бы на него, такая проблема возникает на иномарках.