При попытке запустить двигатель все приборы и лампочки гаснут

Всё дело в недостаточном контакте!
Вы включаете стартер, втягивающее реле срабатывает, перемыкает «пятаки». Чтобы прокрутить коленвал двигателя с его поршнями, стартеру нужен большой ток, который он должен получить от аккумулятора (ампер 150-200, а то и больше, зависит от компрессии в цилиндрах двигателя).
И если в каком-то месте плохой контакт, это возникновение большого сопротивления, нагрев провода и в том месте цепь прерывается — в вашем случае, кручения стартера нет и гаснут лампочки щитка приборов.
Дальше так: отпускаете ключ зажигания, импульс на запуск отменяется, провод остывает, контакт пусть и небольшой восстанавливается, ток побежал, энергия просто для включения зажигания и освещения щитка приборов нужна небольшая, потому лампочки загораются.

Начинайте с аккумулятора проверку. Нет ли на клеммах окислов (часто это бывает сине-зелёная бахрома) — их очистить, сняв наконечники проводов и эти наконечники очистить. Далее в месте закрепления проводов к наконечникам бывает ослабевает контакт, там многожильный провод бывает переламывается, остаётся несколько волосинок, по ним ток идёт достаточный для лампочек щитка приборов, но недостаточно для стартера. И наконечники проводов подтянуть болтиками крепёжными, ключом плотнее.
Если на батарее всё хорошо, тогда смотрим точки «масс» на кузове и на двигателе. Болты раскрутить, ржавчину зачистить. Прикрутить новые болты с новыми шайбами.
На стартере проверить провода, чтобы плотно прикручено гайками. И сам стартер плотно ли закреплён на двигателе (а то бывает и стартер ослаблен).

Основная причина — нет контакта клеммы с аккумулятором. Возможно окислились клеммы аккумулятора. Снять и зачистить.

А стартер при этом не крутит? Если нет, то проверьте напряжение аккумулятора (возможно он разрядился), можно попробовать прикурить от другого авто. Еще проблема может быть в самом стартере (неисправен).