Выскакивает 4-я передача в КПП Toyota Corolla

Все симптомы указывают на то, что (скорее всего) износилась муфта синхронизатора 4-й передачи. Такой ремонт достаточно дорогой.

Хотя может быть и менее масштабная поломка — проблема в шифтере с тросами. Стоит также посмотреть люфты и резинки. Открыть капот, узреть визуально механизм выбора передач с тросами (возможно придется снять воздушный фильтр и абсорбер) Осмотреть визуально резинки на тросах, пошевелить все руками, люфты если они есть почувствуешь. Пойти сесть и включить 4 передачу, вернуться обратно и попробовать дотолкнуть руками механизм выбора передач, если не идет, то все нормально, если идет то тогда недовключается передача, так можно все проверить попробовать.