Ни одна скорость не включается Хендай Старекс

Ситуация которую вы описали в вопросе, это явно НЕТ ВЫКЛЮЧЕНИЯ сцепления (по умолчанию — сцепление на автомобиле всегда включено).

«При заглушённом двигателе проблем с переключением нет» — это означает, что коробка передач в порядке и привод переключения передач исправен.

Если жидкость не вытекает и не завоздушена система. Тогда остаются варианты: не работает ГЦС (главный цилиндр сцепления); не работает рабочий цилиндр сцепления; сломана вилка сцепления.

Чтобы проверить работает ли ГЦС и РЦС, надо заглянуть снизу, помощник понажимает педаль сцепления, смотрите двигается ли шток на рабочем цилиндре, и выдвигается ли на полную длину. Если оба цилиндра работают, тогда проблема глубже — вилка погнулась или сломалась, может лепестки сломались на корзине сцепления.

Включите передачу на не заведенном двигателе, выжмите сцепление и заводите. Если стартером авто будет приводится в движение то выжима нет у вас.

Мне так доводилось и заводиться на передаче, и ехать. Передачи включаются без сцепления на ходу в нахалку, но при определенных оборотах(скорости) ехать сложно, но можно. Была проблема на санта фе 2.

Попробуйте все же прокачать сцепление, если не поможет, то проблема может быть в самом сцеплении (феродо, лепестки), почитайте еще тут.