Двигатель 2106 набирает обороты и глохнет

А от чего лопнул старый корпус, может от выстрелов в карб? Если стреляет и в карбюратор и в глушитель то это проблемы с зажиганием, люфты в приводе трамблера допустим или пережатые клапана. Попробуйте поставить для проверки карб с рабочей машины, слава богу не бьюик и наверняка у соседей имеется ВАЗ. Если наладится работа-значит карб, а если нет то что то другое.

Карбюратор ваз 2110, это по большому счёту тот же карбюратор ваз 21083, их название «Солекс» (ДААЗ ...).
Но есть конечно некоторые нюансы у карбюратора ваз 2110.
Как настроить этот карбюратор читайте Здесь ...
Только есть в этой статье очень распространённая ошибка. Это в разделе «Регулировка топливного уровня в поплавковом отсеке», сразу первый пункт брешет про расстояние поплавков от прокладки 1мм, при такой регулировке будет перелив, всё что вы написали — "… При этом не ровная работа, выстрелы в карбюратор и глушитель. Первая камера мокрая, в глушитель летит копоть...". Так что этот зазор выставляйте примерно 7-8мм.

Ну что запуск мотора при нажатой педали «газа», это нормально для карбюраторного разогретого двигателя. На холодном надо закрыть воздушную заслонку (в народе называют — вытянуть подсос).
Только на инжекторном моторе нет «подсоса» и не нажимают на педаль «газа» при запуске двигателя ( независимо холодный он или горячий).

А вот явление — глохнет на холостом ходу, это скорее всего неисправен клапан холостого хода или на него не поступает напряжение при включенном зажигании.

При включении зажигания и поступлении напряжения на электроклапан, та игла, которая торчит из резьбовой части, она должна открывать проход для топлива в канал холостого хода. Если клапан не открывается, нет топлива для ХХ, мотор не работает на холостом ходу, он глохнет.