Можно ли заряжать АКБ не снимая клеммы?

Это самый нежелательный вариант зарядки аккумулятора, не отсоединяя клеммы (надо хотя бы минусовую отсоединить).
Но если не отсоединять, то хотя бы чтобы напряжение зарядки не превышало 14,5 вольт. При более высоком напряжении может выйти из строя ЭБУ двигателя.

Можно, но не желательно, если что пойдет не так, напряжение пойдет на электрику автомобиля. Плюс есть испарения при зарядке.

Проверьте наличие кола магнитолы в сервисной книжке, 4 цифры.

99% так и делают