Не набирает скорость Тойота Королла 9

Аварийные режимы различных АКПП бывают либо 2-я либо 3-я. Судя по тому что ваш авто выше 40км не едет, это вероятнее всего 2-я передача.
Начинать надо с проверки уровня жидкости в АКПП (делается это на прогретой коробке, именно коробка должна быть прогрета, а не только двигатель, а прогревается она пробегом примерно 5-10км, можно и больше). Останавливаете машину, мотор не глушите, селектор на «Р», вытаскиваете щуп, протираете и проверяете уровень. Должен быть на отметке «HOT».
Присмотритесь к цвету масла и понюхать запах. Цвет должен быть розовый или красный, а запах не должен отдавать горелым. Если масло тёмное, то его надо менять. А если отдаёт горелым, то возможно придётся ремонтировать коробку (ясно будет после заливки новой жидкости и после пробного пробега).

Другая причина: если АКПП переходит в аварийный режим после нагрева до рабочих температур, то возможно неисправность температурного датчика, который следует заменить.

СТО приблудное, и занимаются всем понемногу? Или это сервис именно по ремонту АКПП? Если они занимаются именно коробками, то обязаны были найти неисправность. А если это простая СТОшка, то там собрались балаболы, ну хоть бы направили вас в специализированный сервис где занимаются ремонтом АКПП.

А какая коробка передач? Если мкпп, то может например буксовать сцепление. Если акпп, то вероятнее всего она встает в аварийный режим, работает только третья передача и задняя при этом. Попробуйте в момент неисправности остановиться и тронуться, если начнет трогаться только при высоких оборотах, то это третья передача (аварийный режим). При перезапуске двигателя, ошибка видимо пропадает, потом по новой. На холодную то же такое бывает или нет? Нужно поездить с подключенным диагностическим сканером и проверить параметры работы датчиков и соленоидов акпп, проверить наличие ошибок. Так же проверьте уровень и состояние масла в акпп.