При запуске на холодную свист в Лада Гранта

Возможно это свистит выжимной подшипник.

На звук ремня не похож свист? Попробуйте полить водой на приводной ремень, пропадет ли свист.

При выжиме педали, выключается сцепление, останавливается ведомый диск сцепления, то есть останавливается и первичный вал коробки передач, который соединён с ведомым диском сцепления. Останавливается конечно же и подшипник первичного вала — он может издавать свист во время кручения пока двигатель холодный.
А вот проверьте уровень смазки в коробке передач. Подшипник первичного вала в верхней части коробки и ему может быть не хватает смазки, если уровень масла занижен.