На холодную не включается стартер на ВАЗ 2114

Судя по тому что с «толкача» запускается идеально, значит мотор исправен. Остаётся разобраться с электрикой системы пуска.
Если не запускается сразу после установки нового стартера, то возможно на стартере забыли подсоединить управляющий провод (который приходит от замка зажигания). Либо у этого провода имеется разрыв. Или есть неисправность в замке зажигания.
И проверьте — не разряжен ли ваш аккумулятор.

Проверьте, приходит ли напряжение на стартер в момент поворачивания ключа на старт.