Маленький заряд с генератора ВАЗ 2107

Не исправен реле-регулятор, меняй.

Это не реле регулятор-лампа бы скорее всего горела постоянно, а вот обмотки статора и диодный мост проверить надо бы. Похоже, возможно окислен контакт диодного моста по отношению к массе или плюсу...

«Генератор выдаёт 10,5 без нагрузки...» — это вы в каком месте делали замер?
Если только на аккумуляторе, тогда этого мало.
Надо было ещё делать замер на самом генераторе (может он исправен и в рабочем состоянии). При работающем двигателе, плюс мультиметра на плюсовой (толстый) провод генератора, именно на генераторе и минусовой щуп мультиметра на корпус генератора.
Я почему расписываю подробно, был случай, попросил человек у меня стробоскоп, дай говорит я у себя проверю, ну дал ему, через день приходит и говорит — не работает прибор. Спрашиваю как замерял, он отвечает открыл капот соединил на аккумуляторе пистолет стробоскопа направил на шкив и ждал, ждал, ничего не дождался. Спрашиваю, какие обороты двигателя, а он отвечает… а что надо было мотор запускать? Вот такие анекдотичные случаи бывают в жизни (и их не мало).

При включении зажигания (просто включение, мотор не запущен), лампочка на панели приборов должна гореть. Если она не светится, значит сгорела, если сгорела лампочка, цепь разорвана… при работе мотора и зарядки аккумулятора не будет.