Плохо заводится и глохнет на ходу Хендай Соната 5

«Щиток приборов тоже погас...» — и что же вы раньше об этом молчали?
Это означает, что ваши проблемы из-за пропадания питания. Нет напряжения мотор глохнет.
Что там у вас на аккумуляторе?
Надо снять наконечник провода, всё зачистить, одеть и подтянуть ключом болтик, если выглядит так

И проверить проводку, тоже зачистить, заизолировать оголённые места, если где-то выглядит проводка примерно так

Если зять умеет обращаться с минимумом слесарных ключей, то справится, и сможет заменить фильтры.
Большой фильтр стоит на газовой магистрали, меняется не трудно (обычно он в моторном отсеке). Маленький фильтр на редукторе, там надо открыть крышку на трёх болтах. Бывает маленький фильтр и отдельно от редуктора стоит. Когда откроется крышка, там увидите фильтр и магнит, Фильтр наверняка загрязнён. Магнит обычно обросший металлическими опилками. Фильтр меняется. Магнит вытаскивается, очищается, устанавливается на место

Раз клеммы чистите, то проверьте провода снизу блока предохранителей под капотом, так же проблема может быть например в самом блоке предохранителей (во внутренней части). Так же нельзя исключать и замок зажигания (его контактную группу). Нужно электрику в момент неисправности прозвонить проводку и определить, где пропал контакт. Можно в момент неисправности пошевелить провода блоков предохранителей, может появится контакт.

Если все же надумаете менять фильтр ГБО, то нужно учесть, если ГБО на гарантии, то фильтр стоит менять только в том же сервисе, если не на гарантии, то посмотрите видео, там подробно все показано. После замены фильтров обязательно нужно проверить герметичность системы.

Было тепло, теперь холод. Мотор реагирует на смену температуры. Создаётся мнение что неисправен датчик температуры двигателя или датчик температуры впускного воздуха.
Может забит топливный фильтр или имеется вода в топливе.

А глохнет и на газу и на бензине? Получается чек горит при работающем двигателе?

Если глохнет и на бензине и на газу, то проблема не в топливной системе, проблема может быть например в датчике коленвала, в датчиках двигателя, в системе зажигания. Если двигатель например глохнет только на газу, а на бензине нет, то проблема в данной топливной системе (давление, форсунки).

Если горит чек, то нужно провести диагностику сканером, считать ошибки и провести по ним проверки.

Давайте я вкратце вам объясню, что такое ГБО 4-го поколения.
Это значит у газового оборудования имеются свои «мозги», также как и у инжекторного двигателя, и работа их синхронизирована. Запускается мотор всегда (всегда) на бензине, потом по мере прогрева двигателя примерно до 45-ти градусов, происходит переключение на газовое топливо (бензин в это время отключается).
На горячую вы заглушили мотор, потом запускаете, двигатель запускается на бензине (на бензине), ЭБУ газового оборудования сверяет температуру и переключает на газовое топливо.

Так что, ваш плохой запуск двигателя, это проблема только бензиновая.

А вот если глохнет горячий двигатель на ходу, тогда это проблема с газовым оборудованием. Например давно пора заменить фильтры

Вот сколько, там собирается мусора при прохождении газа

Раз глохнет и на бензине и на газу, то проблема не в топливной системе (не в давлении топлива и не в форсунках), проблема может быть например в датчике положения коленвала, нужно проверить диагностическим сканером, параметры работы датчика коленвала в момент неисправности.

Так же проблема может быть в одном из датчиков двигателя. Нужно проверить в момент неисправности есть ли искра и импульс на форсунки, лучше поездить с подключенным диагностическим сканером.